第八讲 多元函数积分学

• 预备知识，三重积分，第一型积分（线，面），第二型积分（线Green公式，面Guass公式），stokes公式

一、预备知识

1."切一刀，投下来，转一圈"

• 1 "切一刀"——曲面方程的切平面

  • $设\sum : F(x,y,x)=0 切平面 P_0为面上一点$

  • $1. \vec n = \{ F'_x|_{P_0}, F'_y|_{P_0}, F'_z|_{P_0}, \} = \{A,B,C\}$

  • $2. 写方程 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) = 0$

• 2."投下来"——曲线（曲面）在坐标面上的投影曲线（平面区域）

  • $L 投下来\rightarrow L_投$

  • $\Sigma 投下来\rightarrow D$

  • $投影时，先消去z,在补上z=0$

• 3."转一圈"——旋转曲面方程

  • $$1.提法:将\Gamma: \left{ \begin{array}{ll}

    F(x,y,z)=0\

    G(x,y,z)=0 \end{array} \right. 绕L: \ \frac {x-x_0}{l} = \frac {y-y_0}{m}+\frac {z-z_0}{n} 旋转一周所得曲面\Sigma$$

  • $2.求法$

    • $M_0(x_0,y_0,z_0)在L上, \vec \tau (l,m,n)是L的法向量$

    • $M_1(x_1.y_1,z_1)在\Gamma上,M_1绕L旋转一周得纬圆,P(x,y,z)为纬圆上一点$

    • $M_0,M_1,P构成圆锥$

    • $$\left{ \begin{array}{ll}

      (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0\

      F(x_1,y_1,z_1)=0 \G(x_1,y_1,z_1)=0 \end{array} \right. \ \Rightarrow \Sigma: f(x,y,z)= 0 ——空间曲面方程 $$

2.场论初步

• $u=u(x,y) —— 数量场 field 没有向量方向，例如温度场$

• $\vec u = \vec u(x,y) —— 向量场，有方向，有大小 如重力场$

• $1.方向导数 u=u(x,y)$

  • $P_0(x_0,y_0), P_1(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\sin \alpha),P_0到P_1为\vec l$

  • 1.定义法

    • $\frac {\partial u}{\partial \vec l} | _{P_0} \triangleq \lim_{t\to 0^+} \frac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\sin \alpha) - u(x_0,y_0}{t}$

  • 2.公式法

    • $若u(x,y)在P_0处可微,\\则\frac {\partial u}{\partial \vec l} | _{P_0}=u'_x|_{P_0} \bullet \cos \alpha + u'_y|_{P_0} \bullet \sin \alpha$

• $2.梯度gradient u=u(x,y)$

  • $\overrightarrow {grad}\ U |_{P_0} =\{ u'_x|_{P_0} , u'_y|_{P_0} \}$

• $3.散度 \vec u = \vec u(x,y,z) = \{P,Q,R\} 旋转$

  • $\vec u = P(x,y,z)\vec i + Q\vec j + R\vec k$

  • $散度 div\ \vec u = \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}$

• $4.旋度, 三阶行列式$

  • $$ \vec rot \quad \vec u = \left| \begin{array}{ccc}

    \vec i & \vec j & \vec k \

    \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \

    P & Q & R

    \end{array} \right| $$

二、三重积分

1.定义

• 类比二重积分

• $\iint_Df(x,y)d\sigma$

• $\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv$

2.计算

• 1.直角系与柱面系下

  • $dv=dxdydz (直角系下)$

  • $dv=d\theta rdrdz (直角+极 = 柱)$

  • 法一:先一后二法(先z后xy法，投影穿线法)

    • 后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

    • 某个例子

    • $I= \iiint_{\Omega}zdv = \iint_{D_{_1xy}:x^2+y^2\le 1}d\sigma \bullet \int_1^2 zdz \\+ \iint_{D_{_2xy}:1\le x^2+y^2\le 4}d\sigma \bullet \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^2 zdz$

  • 法二:(先xy后z的方法，定限截面法)

    • $\iiint_{\Omega}zdv = \int_1^2 dz \iint_{D_{xy}:x^2+y^2\le z^2}zd\sigma$

• 2.球面系下

  • $dv = r^2\sin\varphi d\theta d\varphi dr \qquad 记住即可$

  • $$\left{ \begin{array}{ll}

    x = r\sin\varphi \bullet \cos\theta \

    y = r\sin\varphi \bullet \sin\theta \ z = r\cos\varphi \end{array} \right.$$

  • $I = \iiint_{\Omega}f(x,y,z)dv \\ = \int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi \int_{r_1}^{r_2}f(x,y,z)r^2\sin\varphi dr \\ = \int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi \int_{r_1}^{r_2}f(r\sin\varphi \cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)r^2\sin\varphi dr$

三、第一型积分

1.第一型曲线积分(和定积分，二重积分，三重积分本质一致都是面积)

• 1.定义

  • 对比定积分，底边由直线变曲线，dx变ds弧微分，L:y=y(x)

  • $\int_Lf(x,y)ds$

  • $ds =\sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2}$

  • $ds =\sqrt{ 1 + (y'_x)^2}dx$

• 2.计算口诀:一投二代三计算

  • $$1.参数方程 L: \left{ \begin{array}{ll}

    x = x(t) \

    y = y(t) \end{array} \right. \qquad \alpha \le t \le \beta $$

    • $\int_Lf(x,y)ds = \int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t))\sqrt {(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$

  • $$2.显式方程 L: \left{ \begin{array}{ll}

    y = y(x) \

    (x = x) \end{array} \right. \qquad a \le x \le b $$

    • $\int_Lf(x,y)ds = \int_a^bf(x,y(x))\sqrt {1+(y'(x))^2}dx$

2.第一型曲面积分

• 1.定义

  • $对比二重积分，底面变为曲面，d\sigma 变为dS 面密度,曲面质量$

  • $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS$

  • $dS =\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

• 2.计算口诀:一投二代三计算

  • $\iint_{\Sigma:z=z(x,y)}f(x,y,z)dS \\ = \iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

四、第二型积分

1.第二型曲线积分——无几何背景

1.概念

• $给力场 \vec F=\vec F(x,y) = P(x,y)\vec i + Q(x,y)\vec j$

• $弧微分向量d\vec s = \{dx,dy\}=dx\vec i+dy\vec j$

• $dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

• $W = \int_LdW = \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy ——物理意义做功$

2.计算

• 1.直接法:一投二代三计算

  • $$1.参数方程 L: \left{ \begin{array}{ll}

    x = x(t) \

    y = y(t) \end{array} \right. \qquad t:\alpha \to \beta 起点到终点 $$

  • $\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy = \\ \int_{\alpha}^{\beta}(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt$

• 2.格林公式法(间接法,green公式)

  • 正方向，沿着正方向走，左手在D内

  • $\oint_{L^+}P(x,y)dx+Q(x,y)dy \\=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

  • $$成立要求: \left{ \begin{array}{ll}

    1.L封闭取正向 \

    1. P,Q,\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial y}在D中连续 \end{array} \right.$$

2.第二型曲面积分——无几何背景

1.概念

• $给流场 \vec u = \vec u(x,y,z) = P(x,y,z)\vec i + Q(x,y,z)\vec j + R(x,y,z)\vec k$

• $d\vec S = dydz\vec i + dzdx\vec j+ dxdy\vec k \\ \Rightarrow d\Phi = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

• $\Phi = \iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ——通量$

2.计算

• 1.直接法:一投二代三计算

  • 一个一个算

  • $\iint_{\Sigma:z=z(x,y)}R(x,y,z)dxdy = \\ \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y)(\pm dxdy)$

  • $[注] 指定\vec n_外,\vec k = 锐角 \Rightarrow +dxdy$

  • $[注] 指定\vec n_外,\vec k = 钝角 \Rightarrow -dxdy$

• 2.高斯公式法

  • $\oint\oint_{\Sigma_外}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \\ \iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dv$

  • $$成立要求: \left{ \begin{array}{ll}

    1.\Sigma封闭取外侧 \

    1. P,Q,R,\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z}在\Omega中连续 \end{array} \right.$$

五、空间第二型曲线积分

1.斯托克斯公式

• $设\Omega为空间某区域, \Sigma为\Omega内分片光滑有向曲面片, \\L为逐段光滑的\Sigma的边界,其方向与\Sigma外法向符合右手定则$

• $$\ointLPdx+Qdx+Rdz=\iint{\Sigma}\left| \begin{array}{ccc}

  \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \

  \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \

  P & Q & R

  \end{array} \right|dS\其中\vec n_0={\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma}为\Sigma的单位法向量$$