第七讲 无穷级数

• 数项级数的判敛，幂级数的收敛域，展开与求和

引言

1.概念

• $给出{u_n}$

  • $1. S_n=u_1+u_2+\dots+u_n$

  • $2. \lim_{n \to \infty}S_n = \Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 叫无穷级数$

• $\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 收敛 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}u_n = 0$

• $本质:研究u_n \to 0 的速度 (n \to \infty)$

2.分类

• $$\left{ \begin{array}{ll}

  (常)数项级数\left{ \begin{array}{ll}

  1.\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n & (u_n \ge 0) ——正项级数\

  2.\Sigma{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n &(u_n > 0) ——交错级数 \3.\Sigma{n=1}^{\infty}u_n & (u_n符号无限制)——任意项级数 \end{array} \right. \

  函数项级数 ——4.\Sigma_{n=1}^{\infty}a_nx_n ——幂级数\end{array} \right. $$

• [注] 3类级数 可能=1类级数+2类级数

一、数项级数的判敛

$1.正项级数 \Sigma_{n=1}^{\infty}u_n (u_n \ge 0) 的判敛 5种判别法$

• 1.收敛原则(考抽象)

  • $\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 收敛 \Leftrightarrow \{S_n\}有上界$

  • 证

  • $\{S_n\}有上界 \Leftrightarrow \{S_n\}有界 \Leftrightarrow \{S_n\}收敛 \\ \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}S_n 存在 \Leftrightarrow \Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 收敛$

• 2.比较判别法

  • $$设\Sigma{n=1}^{\infty}u_n, \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 为正项级数, 且u_n \le v_n, 则 \ \left{ \begin{array}{ll}

    \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 收 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 收\

    \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 发 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 发 \end{array} \right. $$

  • $$[注]比较: \left{ \begin{array}{ll}

    简单: u_n自身放缩\

    复杂:命题人告知 \end{array} \right. $$

• 3.比较判别法的极限形式,2的进化,本质

  • $设\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n, \Sigma_{n=1}^{\infty}v_n 为正项级数, 则$

  • $$\lim_{n \to \infty} \frac {u_n}{v_n} (\frac 00 型) = \left{ \begin{array}{ll}

    0 \Rightarrow u_n 小 & \left{ \begin{array}{ll}

    \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 收 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 收\

    \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 发 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 发 \end{array} \right. \

    \infty \Rightarrow v_n 小 & \left{ \begin{array}{ll}

    \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 收 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 收\

    \Sigma{n=1}^{\infty}v_n 发 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 发 \end{array} \right. \ A≠0 \Rightarrow & u_n,v_n同敛散 \end{array} \right. $$

  • A≠0是重中之重

• 4.比值判别法(达朗贝尔判别法)

  • $设\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 为正项级数, 则$

  • $$ \lim{n \to \infty} \frac {u{n+1}}{u_n} =\rho \left{ \begin{array}{ll}

    < 1 \Rightarrow 收\

    1 \Rightarrow 发 \ = 1 该法失效,另谋他法(转用比较法) \end{array} \right. $$

  • "向前进，我们就会看到希望（就会产生信心）！" ————达朗贝尔

• 5.根值判别法(柯西判别法)

  • $设\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 为正项级数, 则$

  • $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} =\rho \left{ \begin{array}{ll}

    < 1 \Rightarrow 收\

    1 \Rightarrow 发 \ = 1 该法失效,另谋他法(转用比较法) \end{array} \right. $$

• $通项中含a^n,n!，考虑用4，5判别法$

$2.交错级数(\Sigma_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n,u_n > 0)的判敛$

• 1.莱布尼茨判别法

  • $若\Sigma_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n,u_n > 0 满足\\1. \lim_{n \to \infty} u_n = 0, \\ 2.u_n \ge u_{n+1} \\ \Rightarrow 级数收敛$

    *[注]比较

  • $$ 1. \Sigma_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \left{ \begin{array}{ll}

    |q|< 1 \Rightarrow 收敛,收敛于 \frac a{1-q} \

    |q| \ge 1 \Rightarrow 发散 \end{array} \right. $$

  • $$ 2. p-级数 \Sigma_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p} \left{ \begin{array}{ll}

    p > 1 \Rightarrow 收敛 \

    p \le 1 \Rightarrow 发散 \end{array} \right. $$

  • $$3.广义p-级数 \Sigma_{n=2}^{\infty}\frac1{n(\ln n)^p} \left{ \begin{array}{ll}

    p > 1 \Rightarrow 收敛 \

    p \le 1 \Rightarrow 发散 \end{array} \right. $$ 超纲

  • $$ 4. 交错p-级数 \Sigma_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac1{n^p} \left{ \begin{array}{ll}

    p > 1 & \Rightarrow 绝对收敛 \ 0 < p \le 1 & \Rightarrow 条件收敛 \end{array} \right. $$

$3.任意项级数(\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n,u_n符号无限制)的判敛$

• $1.思路上:\Sigma_{n=1}^{\infty}u_n \to \Sigma_{n=1}^{\infty}|u_n| \ge 0$

• $$2.理论上\left{ \begin{array}{ll}

  若\Sigma{n=1}^{\infty}|u_n| \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 绝对收敛 \

  若 \left{ \begin{array}{ll}

  若\Sigma{n=1}^{\infty}|u_n| 发 \Rightarrow \Sigma{n=1}^{\infty}u_n 条件收敛\

  \Sigma_{n=1}^{\infty}u_n 收\end{array} \right. \end{array} \right. $$

  • 可能拆成正项+交错

• 还是用前面的6个方法来处理

二、幂级数的收敛域

1.幂级数

• $$\left{ \begin{array}{ll}

  \Sigma{n=0}^{\infty}a_nx^n = \Sigma{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}}{n!}x^n & 麦克劳林展开\

  \Sigma{n=0}^{\infty}a_n(x - x_0)^n = \Sigma{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n &泰勒展开\end{array} \right.$$

• $1.具体到x=x_0,代入\Sigma_{n=0}^{\infty}a_nx^n \Rightarrow \Sigma_{n=0}^{\infty}a_nx_0^n \Rightarrow 判敛$

  • $$\left{ \begin{array}{ll}

    若收敛,称x_0为收敛点\

    若发散,称x_0为发散点 \end{array} \right.$$

• $2.目标:找到所有的收敛点的集合\Rightarrow 收敛域$

2.阿贝尔定理

• $对于\Sigma_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

  • $1. 找到非0的x_0使得该级数收敛,则对于|x| < |x_0|的所有点,该级数都收敛$

  • $2. 找到非0的x_1使得该级数发散,则对于|x| > |x_1|的所有点,该级数都发散$

  • $3.|x_0|和|x_1|移动到一起为R, \\则对于|x| < |R|的所有点,该级数都收敛,\\对于|x| > |R|的所有点,该级数都发散,\\对于x=\pm R两点,单独代入讨论$

3.求收敛域的程序(统一)

• $1.\Sigma_{n=0}^{\infty}u_n(x) \Rightarrow \Sigma_{n=0}^{\infty}|u_n(x)|$

• $$2.用\left{ \begin{array}{ll}

  比值判别法: \lim {n \to \infty}\frac {|u{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=\rho (x) 令< 1\

  根值判别法：\lim _{n \to \infty}\sqrt[n] {|u_n(x)|}=\rho (x) 令< 1\end{array} \right. \Rightarrow I_x收敛区间$$

• 等于1时没有定理判定，阿贝尔，达朗贝尔，柯西三个判别法都不处理

• $3.单独讨论I_x的两个端点a,b 结合第二步\Rightarrow 收敛域$

三、展开与求和(函数展开成幂级数及幂级数求和函数,深刻理解泰勒公式)

• 1.熟稔于心 7个公式见书

  • $e^x =\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac {x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac {x^n}{n!} + \dots , x \in (-\infty,\infty)$

  • $\sin x = \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, x \in (-\infty,\infty)$

  • $\cos x = \Sigma_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}, x \in (-\infty,\infty)$

  • $\ln(1+x)=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac {x^n}{n}, x \in (-1,1]$

  • $\frac1{1-x}=\Sigma_{n=0}^{\infty}x^n , x \in (-1,1)$

  • $\frac1{1+x}=\Sigma_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n , x \in (-1,1)$

  • $(1+x)^{\alpha}=1+\Sigma_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(n-1))}{n!}x^n , x \in (-1,1)$

• 2.计算方法

  • 1.直接展开法

  • 2.先积后导法

    • $\int f(x)dx)' = f(x)$

  • 3.分母上有an+b,用先导后积 用定积分

    • $f(x) = \int_a^x f'(t)dt + f(a)$

    • 先导后积公式

四、傅里叶级数

• 狄氏收敛性定理，函数展开成傅氏级数

  1.狄氏收敛性定理

• $设f(x)以2l为周期，在[-l,l]上满足$

  • $1.连续或只有有限个第一类间断点$

  • $2.只有有限个极值点$

  • [注]以上两点为套话

• $则f(x)的傅氏级数S(x)在[-l,l]上处处收敛且$

• $$ S(x)= \left{ \begin{array}{ll}

  f(x) & x为连续点\

  \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2} & 为间断点\

  \frac{f(-l+0)+f(l-0)}{2} & x为端点\end{array} \right. $$

• 推导过程太复杂，记住结论

• $f(x-0)表示左极限，f(x+0)表示右极限$

2.周期为2l的函数的傅氏展开

• $f(x) \sim S(x)=\frac{a_0}{2} + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac {n\pi x}{l} + b_n\sin \frac {n\pi x}{l} )$

  • $$ 1. [-l,l]上f(x)的展开 \left{ \begin{array}{ll}

    a0 = \frac 1l \int{-l}^lf(x)dx \ an = \frac 1l \int{-l}^lf(x)\cos \frac {n\pi x}{l}dx \

    bn = \frac 1l \int{-l}^lf(x)\sin \frac {n\pi x}{l}dx \end{array} \right. $$

  • $$2. [-l,l]上f(x)\是奇或偶的展开\left{ \begin{array}{ll}

    1.奇函数 a0 = 0, a_n = 0,\ b_n = \frac 2l \int{0}^lf(x)\sin \frac {n\pi x}{l}dx,称为正弦级数 \2.偶函数 a0 = \frac 2l \int{0}^lf(x)dx,\ an = \frac 2l \int{0}^lf(x)\cos \frac {n\pi x}{l}dx , b_n=0 称为余弦级数

    \end{array}\ \right. $$

  • $$3.[0,l]上f(x)展开成正弦级数或余弦级数\ \left{ \begin{array}{ll}

    1.作奇延拓,f(x)奇函数 \rightarrow 正弦级数 \2.作偶延拓,f(x)偶函数 \rightarrow 余弦级数

    \end{array}\ \right. $$