第二讲 一元函数微分学

一、导数定义（牛顿）

• 瞬时变化率

• $\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0)$ 记为

• [注]

  • 1. 左右有别， $x_0 + \Delta x$

       • $\lim_{\Delta x \to 0^+ } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f_+'(x_0)$ 右导数

       • $\lim_{\Delta x \to 0^- } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f_-'(x_0)$ 左导数

       • 故 $f'(x_0) \exists \Longleftrightarrow f_+'(x_0)=f_-'(x_0)$

  • 1. $\Delta x \to t$ 变量的广义化

       • $f'(x_0) \triangleq \lim_{t \to 0 } \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t}$

       • 学会凑出t

  • 1. 一静一动原则

       • $\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} =f'(x_0)$ 典型错误，这里是两动

       • $\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0)$ 一静一动

       • 导数是瞬时变化率，所以里面必须有$f(x_0)$这个静点

  • 4.换元法

    • 令$x_0 + \Delta x = x$

    • 等价写法 $f'(x_0) = \lim_{ x \to x_0 } \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 差值形式

    • $\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0)$ 增量写法

• 见到$f'(x_0)$ 先用定义法来

• $h \to 0, \cos h \to 1^- , 1- \cos h \to 0^+$

• $\frac{|x|}x 在 x \to 0 时有界，但是极限不存在$

• 2A-A≠A （A只是符号，只有A存在时才做数量运算）

（ 二、微分定义 莱布尼茨 强化班）

• $1. \Delta y = f(x_0+\Delta x) -f(x_0) 真实增量$
• $2. A \Delta x= f'(x_0)\Delta x 线性增量$
• $3. \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} = 0 \Rightarrow f(x) 在x_0处可微 \Leftrightarrow 可导$
• $$考 \left{ \begin{array}{ll}

  \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x), A \Delta x 是线性主部,o(\Delta x)是误差(error)

  \

  dy|_{x=x_0}=A \Delta x = y'(x_0)A \Delta x = Adx &\end{array} \right.$$

二、计算

1.基本求导公式

• $(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1}$
• $(a^x)'=a^x \ln a ,(e^x)'=e^x$
• $(\ln |x|)'= \frac1x$
• $(\sin x)' = \cos x , (\cos x)'= -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x , (\cot x)'= -\csc^2 x$
• $(\sec x)' = \sec x\tan x , (\csc x)'= -\csc x \cot x$
• $(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1-x^2}} , (\arccos x)'= -\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arctan x)' = \frac1{1+x^2} , (arccot x)'= -\frac1{1+x^2}$
• $(\ln (x+\sqrt{x^2+1})' = \frac1{\sqrt{x^2+1}} , (\ln (x+\sqrt{x^2-1})' = \frac1{\sqrt{x^2-1}}$

2.基本求导法

• 1. 复合函数求导——一层一层剥开她的心

     • $(f[g(x)])'=f'[g(x)]g'(x)$
     • $(uv)'=u'v+uv'$
     • $[注](u_1u_2\dots u_n)=\\u'_1u_2\dots u_n +u_1u'_2\dots u_n+ \dots + u_1u_2\dots u'_n$
     • $(\frac uv)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$
• 2.隐函数求导

  • $显: y=f(x) 隐: F(x,y)=0 ----(*),y=y(x)$
  • $方法:在（*）式两边同时对x求导，注意y=y(x)即可（复合求导）$
• 3.对数求导法

  • 对于多项相乘相除，开方，乘方的式子，先取对数，再求导

  • $[注] u=u(x)$

    • $$ (\ln|u|)'_x = \left{ \begin{array}{ll}

      (\ln u)' = \frac1u \bullet u' & \textrm{$u > 0$}\

      (\ln (-u))' =\frac1{-u} \bullet (-u') = \frac1u \bullet u' & \textrm{$u < 0$} \end{array} \right. $$

    • 形式上相同，视绝对值而不见

    • $(\ln|u|)'_x = \frac1u \bullet u'$
• 4.反函数求导

  • $\frac{dx}{dy} = \frac1{y'}$
  • 其实就是隐函数和复合函数结合

• 5.参数方程求导

  • $$ y = \left{ \begin{array}{ll}

    x=x(t) \

    y=y(t) &\end{array} \right. $$

  • t为参数

  • $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bullet \frac{dt}{dx}$
  • 结合反函数求导

• 6.高阶导数（见强化班）

三、中值定理

1.定理总结

• 1.$涉及f(x)的定理$

  • $设f(x)在[a,b]上连续，则$ (————前提)
  • $[1](有界性定理)\exists K > 0 ,使 |f(x)| \le K , \forall x \in [a,b]$
  • $[2](最值定理)m \le f(x) \le M ,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小，最大值$
  • $[3](介值定理)若m \le \mu \le M, 则 \exists \xi \in [a,b], 使 f(\xi)=\mu$
  • $[4](零点定理）若f(a)\bullet f(b)<0, 则 \exists \xi \in (a,b), 使 f(\xi)=0$ 柯西
  • 不要让几何直观蒙蔽了双眼 ———— 柯西

  • [1] - [4] 只用不证

  • 数缺形时少直观,形少数时难入微 ———— 华罗庚

• 2.$涉及f'(x)的定理$

  • $[5]费马定理$

    • $$ 设f(x)在x=x_0处 \left{ \begin{array}{ll}

      (1)可导 \

      (2)取极值 \end{array} \right. ,\则f'(x_0)=0 $$ 自己证明

  • $[6]罗尔定理$

    • $$ 设f(x)满足以下三条 \left{ \begin{array}{ll}

      (1)[a,b]上连续 \

      (2) (a,b)内可导 \ (3) f(a)=f(b) \end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 f'(\xi)=0 $$ 自己证明

  • $[7]拉格朗日中值定理$

    • $$ 设f(x) \left{ \begin{array}{ll}

      (1)[a,b]上连续 \

      (2) (a,b)内可导 \end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 f'(\xi)= \frac {f(b) -f(a)}{b-a} $$

    • $[注]若f(a)=f(b),则f'(\xi)=0，成为罗尔$
  • $[8]柯西中值定理$

    • $$ 设f(x),g(x) \left{ \begin{array}{ll}

      (1)[a,b]上连续 \

      (2) (a,b)内可导 \ g'(x) ≠ 0\end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 \frac {f(b) -f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

    • $[注]若g(x)=x, \frac{f(b) -f(a)}{b-a} = \frac {f'(\xi)}1 \Rightarrow 拉格朗日$
  • $[9]泰勒定理（泰勒公式）$

    • $任何可导f(x) = \Sigma a_nx^n 统一美$
    • 1. 带拉格朗日余项的泰勒公式

         • $若f(x) 是n+1阶可导，$
         • $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} , \xi 介于x,x_0之间$
         • $\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 是通项$
         • $\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$是拉格朗日余项
         • $f(x) 是n+1阶可导，n+1阶写拉格朗日余项$
         • $若f(x)三阶可导 \Rightarrow$

           • $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \frac {f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3 , \xi 介于x,x_0之间$ 带拉格朗日余项的泰勒三阶公式
         • $若x_0=0,$

           • $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac {f'''(\xi)}{3!}x^3 , \xi 介于x,x_0之间$ 带拉格朗日余项的三阶麦克劳林公式
    • 2.带佩亚诺余项的泰勒公式

      • $若f(x) 是n阶可导，$
      • $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) , \xi 介于x,x_0之间$
      • $\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 是通项$
      • $o((x-x_0)^n)$是佩亚诺余项
      • $若f(x)三阶可导 \Rightarrow$

        • $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \frac {f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +o((x-x_0)^3)$ 带佩亚诺余项的泰勒三阶公式

          *$若x_0=0,$
        • $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac {f'''(x_0)}{3!}x^3 +o(x^3)$ 带佩亚诺余项的麦克劳林公式
  • [10] 积分中值定理，后面讲

2.五大方面的应用

• 1. 涉及f(x)的应用（定理1-4）

     • $设f(x)在[a,b]上连续,证明 \exists \xi \in [a,b],\\使\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\xi)(b-a)$ [积分中值定理]
     • 用介值定理证明

     • $黎曼提出了定积分，莱布尼兹创造积分符号 \int$
     • 定积分是一个面价值，定积分是一个数

     • $[注]: 若a < b , f(x) \le g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x)dx \le \int_a^bg(x)dx . 积分的保号性$
     • 介值定理三部曲

       • $1.m \le f(x) \le M \\ 2. m \le \mu \le M \\ 3. f(\xi) = \mu$
       • $关键在于1到2步里的 f(x) \Rightarrow \mu$
       • $f(\xi) = \frac{\int_{a}^{b} f(x)dx}{(b-a)} 也记为 \bar f 叫f(x)在[a,b]上的平均值$
• 2.罗尔定理的应用(定理6)

  • 罗尔定理两大关键

  • 1.求导公式逆用法

    • $F(x) = f(x) \bullet x \Rightarrow F'(x)=f'(x)\bullet x+f(x)\bullet 1$

      • $F'(\xi) = f'(\xi)\bullet \xi+f(\xi) = 0$
    • $F(x)=f(x)\bullet e^x \Rightarrow F'(x)=f'(x)\bullet e^x+f(x)\bullet e^x$

      • $F'(\xi) = (f'(\xi)+f(\xi))e^{\xi}=0$
      • $f'(\xi)+f(\xi) =0$
    • $F(x)=f(x)\bullet e^{\varphi (x)} \Rightarrow \\F'(x)=f'(x)\bullet e^{\varphi (x)}+f(x)\bullet e^{\varphi (x)} \bullet \varphi' (x)$

      • $F'(\xi)=(f'(x)+f(\xi)\bullet \varphi'(\xi))\bullet e^{\varphi (x)} = 0$
      • $f'(x)+f(\xi)\bullet \varphi'(\xi) = 0$
  • 2.积分还原法

    • 1.将欲证结论中的$\xi 改为 x$
    • 2.积分,(为简单，令C=0)

    • 3.移项，使等式一端为0，另一端记为F(x)

  • $f'(x) = \frac {d f(x)}{dx}$ 这里的dx是什么含义？
  • $\int udv = uv - \int vdu$
  • $F(x)=f(x)g'(x) - g(x)f'(x)$
• 3.拉格朗日中值定理的应用（定理7）

  • $1.将f复杂化(一般等式证明)$
  • 2.给出高阶条件，证低阶不等式

  • 3.给出相对低阶，证高阶不等式

  • $4.具体化f，a < \xi < b , \Rightarrow 不等式$
• 4.柯西中值定理应用

  • $\frac {f(b) -f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)}{g'(\xi)}$
  • $f——抽象，g——具体$
• 5.泰勒公式的应用——信号$f^{(n)}, n \ge 2$

  • 用在高阶

  • [注]

    • $1. f(a)=f(b), f(c)=f(d) \Rightarrow \\ f'(\xi_1) = 0, f'(\xi_2) = 0 \Rightarrow f''(\xi)=0$
    • $2. 泰勒展开成f'',f''', \dots$

四、导数的几何应用

• （极值点、最值点、拐点；单调性、凹凸性；渐近线）

1.极值与单调性

• 1.极值定义

  • 1.广义极值

    • $\exists x_0的某个邻域, \forall x \in u(x_0,\delta ) 都有 f(x) \le f(x_0) \\称x_0为f(x)的广义极大值点$
    • 双侧定义

  • 2.真正极值

    • $\exists x_0的某个去心邻域, \forall x \in 去心 u(x_0,\delta ) 都有 f(x) < f(x_0) \\称x_0为f(x)的真正极大值点$
  • [注]若无说明，按1办事，同理对最值

• 2.单调性与极值判别

  • $1.若f'(x) > 0 ,\forall x \in I \Rightarrow f(x) 单调增,反之亦然$
  • $2.若f(x)在x_0连续, 去心 u(x_0,\delta )可导, \\(x_0-\delta, x_0 )内f'(x) < 0, (x_0, x_0 + \delta)内f'(x)>0 \Rightarrow 极小 , 反之亦然$
  • $3.若f(x)在x_0二阶可导, f'(x_0) = 0 ,f''(x_0)>0 \Rightarrow 极小 , 反之亦然$

    • [注] 泰勒公式可证

      • $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +o((x-x_0)^2)$
      • $移项 f(x)- f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +o((x-x_0)^2) > 0$

2.凹凸性与拐点

• 1.凹凸性

  • $\forall x_1,x_2 \in I$
  • $\frac{f(x_1)+f(x_2)}2 > f(\frac{x_1+x_2}2) \Rightarrow 凹 反之为凸$
• 2.拐点————连续曲线凹凸弧的分界点

• 3.判别法 设f(x)在I上二阶可导，

  • $1.若f''(x) > 0, \forall x \in I \Rightarrow f(x)凹 ,反之为凸$
  • $2.若f(x)在x_0点处左右邻域f''(x)变号 \Rightarrow （x_0,f(x_0)是拐点$

3.渐近线

• 1.铅垂渐近线

  • $若\lim_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x) = \infty \Rightarrow x = x_0 为铅垂渐近线$
  • (出现在:无定义点或区间端点)

• 2.水平渐近线

  • $若\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x) = A \Rightarrow y = A 为水平渐近线$
• 3.斜渐近线

  • $若\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}\frac{f(x)}x = a≠0 \\且\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x) -a(x)] = b \exists \\ \Rightarrow y=ax+b 为斜渐近线$

4.最值

• $$ 1.f(x)在[a,b]上,找\left{ \begin{array}{ll}

  (1)f'(x) = 0 \Rightarrow x_0驻点 \

  (2) f'(x)不\exists \Rightarrow x_1不可导点 \ (3) 端点a,b \end{array} \right. ,\则 比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b) 取其最大（小）为最大（小）值$$

• $若在I上求出唯一极大(小)值点，则由实际背景 \Rightarrow 此点即为最大(小)值点$