第二讲 一元函数微分学

一、导数定义（牛顿）

  • 瞬时变化率

  • lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0) 记为

  • [注]

      1. 左右有别， x0+Δxx_0 + \Delta x

        • lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f+′(x0)\lim_{\Delta x \to 0^+ } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f_+'(x_0) 右导数

        • lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f−′(x0)\lim_{\Delta x \to 0^- } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f_-'(x_0) 左导数

        • 故 f′(x0)∃⟺f+′(x0)=f−′(x0)f'(x_0) \exists \Longleftrightarrow f_+'(x_0)=f_-'(x_0)

      1. Δx→t\Delta x \to t 变量的广义化

        • f′(x0)≜lim⁡t→0f(x0+t)−f(x0)tf'(x_0) \triangleq \lim_{t \to 0 } \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t}

        • 学会凑出t

      1. 一静一动原则

        • lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0−Δx)2Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} =f'(x_0) 典型错误，这里是两动

        • lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0) 一静一动

        • 导数是瞬时变化率，所以里面必须有f(x0)f(x_0)这个静点

    • 4.换元法

      • 令x0+Δx=xx_0 + \Delta x = x

      • 等价写法 f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{ x \to x_0 } \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} 差值形式

      • lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =f'(x_0) 增量写法

  • 见到f′(x0)f'(x_0) 先用定义法来

  • h→0,cos⁡h→1−,1−cos⁡h→0+h \to 0, \cos h \to 1^- , 1- \cos h \to 0^+

  • ∣x∣x在x→0时有界，但是极限不存在\frac{|x|}x 在 x \to 0 时有界，但是极限不存在

  • 2A-A≠A （A只是符号，只有A存在时才做数量运算）

（ 二、微分定义 莱布尼茨 强化班）

  • 1.Δy=f(x0+Δx)−f(x0)真实增量1. \Delta y = f(x_0+\Delta x) -f(x_0) 真实增量

  • 2.AΔx=f′(x0)Δx线性增量2. A \Delta x= f'(x_0)\Delta x 线性增量

  • 3.lim⁡Δx→0Δy−AΔxΔx=0⇒f(x)在x0处可微⇔可导3. \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y - A \Delta x}{\Delta x} = 0 \Rightarrow f(x) 在x_0处可微 \Leftrightarrow 可导

  • $$考 \left{ \begin{array}{ll}

    \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x), A \Delta x 是线性主部,o(\Delta x)是误差(error)

    \

    dy|_{x=x_0}=A \Delta x = y'(x_0)A \Delta x = Adx &\end{array} \right.$$

二、计算

1.基本求导公式

  • (xα)′=αxα−1(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1}

  • (ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)'=a^x \ln a ,(e^x)'=e^x

  • (ln⁡∣x∣)′=1x(\ln |x|)'= \frac1x

  • (sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x , (\cos x)'= -\sin x

  • (tan⁡x)′=sec⁡2x,(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x , (\cot x)'= -\csc^2 x

  • (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x,(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\sec x)' = \sec x\tan x , (\csc x)'= -\csc x \cot x

  • (arcsin⁡x)′=11−x2,(arccos⁡x)′=−11−x2(\arcsin x)' = \frac1{\sqrt{1-x^2}} , (\arccos x)'= -\frac1{\sqrt{1-x^2}}

  • (arctan⁡x)′=11+x2,(arccotx)′=−11+x2(\arctan x)' = \frac1{1+x^2} , (arccot x)'= -\frac1{1+x^2}

  • (ln⁡(x+x2+1)′=1x2+1,(ln⁡(x+x2−1)′=1x2−1(\ln (x+\sqrt{x^2+1})' = \frac1{\sqrt{x^2+1}} , (\ln (x+\sqrt{x^2-1})' = \frac1{\sqrt{x^2-1}}

2.基本求导法

    1. 复合函数求导——一层一层剥开她的心

      • (f[g(x)])′=f′[g(x)]g′(x)(f[g(x)])'=f'[g(x)]g'(x)

      • (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'

      • [注](u1u2…un)=u1′u2…un+u1u2′…un+⋯+u1u2…un′[注](u_1u_2\dots u_n)=\\u'_1u_2\dots u_n +u_1u'_2\dots u_n+ \dots + u_1u_2\dots u'_n

      • (uv)′=u′v−uv′v2(\frac uv)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}

  • 2.隐函数求导

    • 显:y=f(x)隐:F(x,y)=0−−−−(∗),y=y(x)显: y=f(x) 隐: F(x,y)=0 ----(*),y=y(x)

    • 方法:在（∗）式两边同时对x求导，注意y=y(x)即可（复合求导）方法:在（*）式两边同时对x求导，注意y=y(x)即可（复合求导）

  • 3.对数求导法

    • 对于多项相乘相除，开方，乘方的式子，先取对数，再求导

    • [注]u=u(x)[注] u=u(x)

      • $$ (\ln|u|)'_x = \left{ \begin{array}{ll}

        (\ln u)' = \frac1u \bullet u' & \textrm{$u > 0$}\

        (\ln (-u))' =\frac1{-u} \bullet (-u') = \frac1u \bullet u' & \textrm{$u < 0$} \end{array} \right. $$

      • 形式上相同，视绝对值而不见

      • (ln⁡∣u∣)x′=1u∙u′(\ln|u|)'_x = \frac1u \bullet u'

  • 4.反函数求导

    • dxdy=1y′\frac{dx}{dy} = \frac1{y'}

    • 其实就是隐函数和复合函数结合

  • 5.参数方程求导

    • $$ y = \left{ \begin{array}{ll}

      x=x(t) \

      y=y(t) &\end{array} \right. $$

    • t为参数

    • dydx=dydt∙dtdx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \bullet \frac{dt}{dx}

    • 结合反函数求导

  • 6.高阶导数（见强化班）

三、中值定理

1.定理总结

  • 1.涉及f(x)的定理涉及f(x)的定理

    • 设f(x)在[a,b]上连续，则设f(x)在[a,b]上连续，则 (————前提)

    • [1](有界性定理)∃K>0,使∣f(x)∣≤K,∀x∈[a,b][1](有界性定理)\exists K > 0 ,使 |f(x)| \le K , \forall x \in [a,b]

    • [2](最值定理)m≤f(x)≤M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小，最大值[2](最值定理)m \le f(x) \le M ,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小，最大值

    • [3](介值定理)若m≤μ≤M,则∃ξ∈[a,b],使f(ξ)=μ[3](介值定理)若m \le \mu \le M, 则 \exists \xi \in [a,b], 使 f(\xi)=\mu

    • [4](零点定理）若f(a)∙f(b)<0,则∃ξ∈(a,b),使f(ξ)=0[4](零点定理）若f(a)\bullet f(b)<0, 则 \exists \xi \in (a,b), 使 f(\xi)=0 柯西

    • 不要让几何直观蒙蔽了双眼 ———— 柯西

    • [1] - [4] 只用不证

    • 数缺形时少直观,形少数时难入微 ———— 华罗庚

  • 2.涉及f′(x)的定理涉及f'(x)的定理

    • [5]费马定理[5]费马定理

      • $$ 设f(x)在x=x_0处 \left{ \begin{array}{ll}

        (1)可导 \

        (2)取极值 \end{array} \right. ,\则f'(x_0)=0 $$ 自己证明

    • [6]罗尔定理[6]罗尔定理

      • $$ 设f(x)满足以下三条 \left{ \begin{array}{ll}

        (1)[a,b]上连续 \

        (2) (a,b)内可导 \ (3) f(a)=f(b) \end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 f'(\xi)=0 $$ 自己证明

    • [7]拉格朗日中值定理[7]拉格朗日中值定理

      • $$ 设f(x) \left{ \begin{array}{ll}

        (1)[a,b]上连续 \

        (2) (a,b)内可导 \end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 f'(\xi)= \frac {f(b) -f(a)}{b-a} $$

      • [注]若f(a)=f(b),则f′(ξ)=0，成为罗尔[注]若f(a)=f(b),则f'(\xi)=0，成为罗尔

    • [8]柯西中值定理[8]柯西中值定理

      • $$ 设f(x),g(x) \left{ \begin{array}{ll}

        (1)[a,b]上连续 \

        (2) (a,b)内可导 \ g'(x) ≠ 0\end{array} \right. ,\则 \exists \xi \in (a,b), 使 \frac {f(b) -f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

      • [注]若g(x)=x,f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)1⇒拉格朗日[注]若g(x)=x, \frac{f(b) -f(a)}{b-a} = \frac {f'(\xi)}1 \Rightarrow 拉格朗日

    • [9]泰勒定理（泰勒公式）[9]泰勒定理（泰勒公式）

      • 任何可导f(x)=Σanxn统一美任何可导f(x) = \Sigma a_nx^n 统一美

        1. 带拉格朗日余项的泰勒公式

          • 若f(x)是n+1阶可导，若f(x) 是n+1阶可导，

          • f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1,ξ介于x,x0之间f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} , \xi 介于x,x_0之间

          • f(n)(x0)n!(x−x0)n是通项\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 是通项

          • f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}是拉格朗日余项

          • f(x)是n+1阶可导，n+1阶写拉格朗日余项f(x) 是n+1阶可导，n+1阶写拉格朗日余项

          • 若f(x)三阶可导⇒若f(x)三阶可导 \Rightarrow

            • f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(ξ)3!(x−x0)3,ξ介于x,x0之间f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \frac {f'''(\xi)}{3!}(x-x_0)^3 , \xi 介于x,x_0之间 带拉格朗日余项的泰勒三阶公式

          • 若x0=0,若x_0=0,

            • f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(ξ)3!x3,ξ介于x,x0之间f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac {f'''(\xi)}{3!}x^3 , \xi 介于x,x_0之间 带拉格朗日余项的三阶麦克劳林公式

      • 2.带佩亚诺余项的泰勒公式

        • 若f(x)是n阶可导，若f(x) 是n阶可导，

        • f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n),ξ介于x,x0之间f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) , \xi 介于x,x_0之间

        • f(n)(x0)n!(x−x0)n是通项\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 是通项

        • o((x−x0)n)o((x-x_0)^n)是佩亚诺余项

        • 若f(x)三阶可导⇒若f(x)三阶可导 \Rightarrow

          • f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+f′′′(x0)3!(x−x0)3+o((x−x0)3)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \frac {f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 +o((x-x_0)^3) 带佩亚诺余项的泰勒三阶公式

            *若x0=0,若x_0=0,

          • f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(x0)3!x3+o(x3)f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \frac {f'''(x_0)}{3!}x^3 +o(x^3) 带佩亚诺余项的麦克劳林公式

    • [10] 积分中值定理，后面讲

2.五大方面的应用

    1. 涉及f(x)的应用（定理1-4）

      • 设f(x)在[a,b]上连续,证明∃ξ∈[a,b],使∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)设f(x)在[a,b]上连续,证明 \exists \xi \in [a,b],\\使\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\xi)(b-a) [积分中值定理]

      • 用介值定理证明

      • 黎曼提出了定积分，莱布尼兹创造积分符号∫黎曼提出了定积分，莱布尼兹创造积分符号 \int

      • 定积分是一个面价值，定积分是一个数

      • [注]:若a<b,f(x)≤g(x)⇒∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.积分的保号性[注]: 若a < b , f(x) \le g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x)dx \le \int_a^bg(x)dx . 积分的保号性

      • 介值定理三部曲

        • 1.m≤f(x)≤M2.m≤μ≤M3.f(ξ)=μ1.m \le f(x) \le M \\ 2. m \le \mu \le M \\ 3. f(\xi) = \mu

        • 关键在于1到2步里的f(x)⇒μ关键在于1到2步里的 f(x) \Rightarrow \mu

        • f(ξ)=∫abf(x)dx(b−a)也记为fˉ叫f(x)在[a,b]上的平均值f(\xi) = \frac{\int_{a}^{b} f(x)dx}{(b-a)} 也记为 \bar f 叫f(x)在[a,b]上的平均值

  • 2.罗尔定理的应用(定理6)

    • 罗尔定理两大关键

    • 1.求导公式逆用法

      • F(x)=f(x)∙x⇒F′(x)=f′(x)∙x+f(x)∙1F(x) = f(x) \bullet x \Rightarrow F'(x)=f'(x)\bullet x+f(x)\bullet 1

        • F′(ξ)=f′(ξ)∙ξ+f(ξ)=0F'(\xi) = f'(\xi)\bullet \xi+f(\xi) = 0

      • F(x)=f(x)∙ex⇒F′(x)=f′(x)∙ex+f(x)∙exF(x)=f(x)\bullet e^x \Rightarrow F'(x)=f'(x)\bullet e^x+f(x)\bullet e^x

        • F′(ξ)=(f′(ξ)+f(ξ))eξ=0F'(\xi) = (f'(\xi)+f(\xi))e^{\xi}=0

        • f′(ξ)+f(ξ)=0f'(\xi)+f(\xi) =0

      • F(x)=f(x)∙eφ(x)⇒F′(x)=f′(x)∙eφ(x)+f(x)∙eφ(x)∙φ′(x)F(x)=f(x)\bullet e^{\varphi (x)} \Rightarrow \\F'(x)=f'(x)\bullet e^{\varphi (x)}+f(x)\bullet e^{\varphi (x)} \bullet \varphi' (x)

        • F′(ξ)=(f′(x)+f(ξ)∙φ′(ξ))∙eφ(x)=0F'(\xi)=(f'(x)+f(\xi)\bullet \varphi'(\xi))\bullet e^{\varphi (x)} = 0

        • f′(x)+f(ξ)∙φ′(ξ)=0f'(x)+f(\xi)\bullet \varphi'(\xi) = 0

    • 2.积分还原法

      • 1.将欲证结论中的ξ改为x\xi 改为 x

      • 2.积分,(为简单，令C=0)

      • 3.移项，使等式一端为0，另一端记为F(x)

    • f′(x)=df(x)dxf'(x) = \frac {d f(x)}{dx} 这里的dx是什么含义？

    • ∫udv=uv−∫vdu\int udv = uv - \int vdu

    • F(x)=f(x)g′(x)−g(x)f′(x)F(x)=f(x)g'(x) - g(x)f'(x)

  • 3.拉格朗日中值定理的应用（定理7）

    • 1.将f复杂化(一般等式证明)1.将f复杂化(一般等式证明)

    • 2.给出高阶条件，证低阶不等式

    • 3.给出相对低阶，证高阶不等式

    • 4.具体化f，a<ξ<b,⇒不等式4.具体化f，a < \xi < b , \Rightarrow 不等式

  • 4.柯西中值定理应用

    • f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac {f(b) -f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(\xi)}{g'(\xi)}

    • f——抽象，g——具体f——抽象，g——具体

  • 5.泰勒公式的应用——信号f(n),n≥2f^{(n)}, n \ge 2

    • 用在高阶

    • [注]

      • 1.f(a)=f(b),f(c)=f(d)⇒f′(ξ1)=0,f′(ξ2)=0⇒f′′(ξ)=01. f(a)=f(b), f(c)=f(d) \Rightarrow \\ f'(\xi_1) = 0, f'(\xi_2) = 0 \Rightarrow f''(\xi)=0

      • 2.泰勒展开成f′′,f′′′,…2. 泰勒展开成f'',f''', \dots

四、导数的几何应用

  • （极值点、最值点、拐点；单调性、凹凸性；渐近线）

1.极值与单调性

  • 1.极值定义

    • 1.广义极值

      • ∃x0的某个邻域,∀x∈u(x0,δ)都有f(x)≤f(x0)称x0为f(x)的广义极大值点\exists x_0的某个邻域, \forall x \in u(x_0,\delta ) 都有 f(x) \le f(x_0) \\称x_0为f(x)的广义极大值点

      • 双侧定义

    • 2.真正极值

      • ∃x0的某个去心邻域,∀x∈去心u(x0,δ)都有f(x)<f(x0)称x0为f(x)的真正极大值点\exists x_0的某个去心邻域, \forall x \in 去心 u(x_0,\delta ) 都有 f(x) < f(x_0) \\称x_0为f(x)的真正极大值点

    • [注]若无说明，按1办事，同理对最值

  • 2.单调性与极值判别

    • 1.若f′(x)>0,∀x∈I⇒f(x)单调增,反之亦然1.若f'(x) > 0 ,\forall x \in I \Rightarrow f(x) 单调增,反之亦然

    • 2.若f(x)在x0连续,去心u(x0,δ)可导,(x0−δ,x0)内f′(x)<0,(x0,x0+δ)内f′(x)>0⇒极小,反之亦然2.若f(x)在x_0连续, 去心 u(x_0,\delta )可导, \\(x_0-\delta, x_0 )内f'(x) < 0, (x_0, x_0 + \delta)内f'(x)>0 \Rightarrow 极小 , 反之亦然

    • 3.若f(x)在x0二阶可导,f′(x0)=0,f′′(x0)>0⇒极小,反之亦然3.若f(x)在x_0二阶可导, f'(x_0) = 0 ,f''(x_0)>0 \Rightarrow 极小 , 反之亦然

      • [注] 泰勒公式可证

        • f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+o((x−x0)2)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +o((x-x_0)^2)

        • 移项f(x)−f(x0)=f′′(x0)2!(x−x0)2+o((x−x0)2)>0移项 f(x)- f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +o((x-x_0)^2) > 0

2.凹凸性与拐点

  • 1.凹凸性

    • ∀x1,x2∈I\forall x_1,x_2 \in I

    • f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)⇒凹反之为凸\frac{f(x_1)+f(x_2)}2 > f(\frac{x_1+x_2}2) \Rightarrow 凹 反之为凸

  • 2.拐点————连续曲线凹凸弧的分界点

  • 3.判别法 设f(x)在I上二阶可导，

    • 1.若f′′(x)>0,∀x∈I⇒f(x)凹,反之为凸1.若f''(x) > 0, \forall x \in I \Rightarrow f(x)凹 ,反之为凸

    • 2.若f(x)在x0点处左右邻域f′′(x)变号⇒（x0,f(x0)是拐点2.若f(x)在x_0点处左右邻域f''(x)变号 \Rightarrow （x_0,f(x_0)是拐点

3.渐近线

  • 1.铅垂渐近线

    • 若lim⁡x→x0+(或x0−)f(x)=∞⇒x=x0为铅垂渐近线若\lim_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x) = \infty \Rightarrow x = x_0 为铅垂渐近线

    • (出现在:无定义点或区间端点)

  • 2.水平渐近线

    • 若lim⁡x→+∞(或−∞)f(x)=A⇒y=A为水平渐近线若\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x) = A \Rightarrow y = A 为水平渐近线

  • 3.斜渐近线

    • 若lim⁡x→+∞(或−∞)f(x)x=a≠0且lim⁡x→+∞(或−∞)[f(x)−a(x)]=b∃⇒y=ax+b为斜渐近线若\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}\frac{f(x)}x = a≠0 \\且\lim_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x) -a(x)] = b \exists \\ \Rightarrow y=ax+b 为斜渐近线

4.最值

  • $$ 1.f(x)在[a,b]上,找\left{ \begin{array}{ll}

    (1)f'(x) = 0 \Rightarrow x_0驻点 \

    (2) f'(x)不\exists \Rightarrow x_1不可导点 \ (3) 端点a,b \end{array} \right. ,\则 比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b) 取其最大（小）为最大（小）值$$

  • 若在I上求出唯一极大(小)值点，则由实际背景⇒此点即为最大(小)值点若在I上求出唯一极大(小)值点，则由实际背景 \Rightarrow 此点即为最大(小)值点

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