第六讲 微分方程

• 概念，一阶方程求解，高阶方程求解

一、概念

• 1. $F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})$

• 1. 阶数——方程中y的最高阶导数的阶数

     • $如 y\sin x - y'' = \cos x + 2: 二阶$

     • $$\left{ \begin{array}{ll}

       n=1, 一阶\

       n \ge 2, 高阶 \end{array} \right. $$

• 3.通解——解中所含独立常数的个数=方程的阶数

二、一阶方程的求解

1.变量可分离型

• $形如\frac {dy}{dx} = f(x,y) 若能分离成= g(x)\bullet h(y) \Rightarrow \int \frac {dy}{h(y)}= \int g(x) dx$

• 两边积分

• [注1]求解微分方程中,除了后面"一阶线性型"欲讲的特殊情形外,一律出现ln u,且u不知正负时,写ln|u|

• [注2]

  • 非线性方程中:通解≠全部解(通解+奇解=全部解)

  • 线性方程中:通解=全部解

  • 考研只考通解,数学专业考全部解

    2.齐次型

• $$ \frac {dy}{dx} = f( \frac yx) ,换元，令\frac yx = u \Rightarrow y=u \bullet x \ \Rightarrow y' = u' \bullet x + u \bullet 1 \Rightarrow u'x+u = f(u) \ \Rightarrow \frac {du}{dx} \bullet x = f(u) - u \Rightarrow 继续分离变量 \int \frac{du}{f(u)-u} = \int \frac

  {dx}{x} $$

• 可接受隐式解

3.一阶线性型

• $形如 y'+p(x)y=q(x),p(x),q(x)为已知函数,y未知$
• $看成vu'+v'u$
• $e^{\int pdx} \bullet y' + e^{\int pdx} \bullet p \bullet y = e^{\int pdx} \bullet q \\ \Rightarrow (y \bullet e^{\int pdx})'=e^{\int pdx} \bullet q \\ \Rightarrow 两边积分 y \bullet e^{\int pdx} = \int e^{\int pdx} \bullet qdx + C \\ \Rightarrow y = e^{-\int pdx}(\int e^{\int pdx} \bullet qdx + C ) 公式法$
• [自注] 这个通解公式在线性代数里有个其他解释

4.可降阶 （强化班）

*[注]尚有两种类型的方程貌似二阶，实可降阶

• $1.y''=f(x,y')型 ————缺y$

  • $缺y\Rightarrow 干掉y',y'' ————赶尽杀绝y$
  • $令y'=p,则y''=p' \\\Rightarrow p'=f(x,p) 变为以上三种类型$
• $2.y''=f(y,y')型————缺x$

  • $缺x,决不允许x再出现————斩草除根x$
  • $令y'=p,则y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p$
  • $故\frac{dp}{dy}p=f(y,p)$

三、二阶方程求解 （高阶方程2-4阶 强化班）

$1.二阶齐次方程 y'' + py' + qy = 0, p,q为常数$

• $1. 写 \lambda^2+p\lambda+q =0 \Rightarrow \Delta = p^2-4q$
• $$2. \left{ \begin{array}{ll}

  \Delta > 0 \Rightarrow \lambda_1 ≠ \lambda_2 \Rightarrow y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}\

  \Delta = 0 \Rightarrow \lambda1 = \lambda_2 =\lambda \Rightarrow y = (C_1+C_2x)e^{\lambda x} \ \Delta < 0 \Rightarrow \lambda{1,2} =-\frac p2 \pm \frac {\sqrt{4q-p^2}}2i = \alpha \pm \beta i \Rightarrow y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x) \end{array} \right. $$

2.二阶非齐次方程

• $1. y'' + py' + qy =e^{\alpha x} \bullet P_m(x)$

  • $y_通=y_齐通+y^*_{非齐特}$
  • $1.照搬1齐次方程通解 \Rightarrow y_齐通$
  • $2.设定y^* = e^{\alpha x} \bullet Q_m(x) \bullet x^k, Q_m(x)为一般多项式（如ax^2+bx+c)$
  • $对于k,一看二算三比较$

    • $一看:自由项中的 \alpha$
    • $二算:\lambda^2+p\lambda+q =0 \Rightarrow \lambda_1, \lambda_2$
    • $$三比 \left{ \begin{array}{ll}

      \alpha ≠ \lambda_1, \alpha ≠ \lambda_2 \Rightarrow k = 0\

      \alpha = \lambda_1或 \alpha = \lambda_2 \Rightarrow k=1 \ \alpha = \lambda_1 = \lambda_2 \Rightarrow k = 2 \end{array} \right. $$

  • $y^*代回原方程，用待定系数,求出Q_m(x)的系数，确定y^*$
• $2.y'' + py' + qy =e^{\alpha x} \bullet (P_m(x)\cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x )$

  • $设定y^* = e^{\alpha x} \bullet (Q_l^{(1)}(x) \bullet \cos \beta x + Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x ) \bullet x^k,\\ l = max(m,n)$
  • $对于k,一看二算三比较$

    • $一看:自由项中的 \alpha ,\beta , ( \alpha \pm \beta i)$
    • $二算:\lambda^2+p\lambda+q =0 \Rightarrow \lambda_1, \lambda_2$
    • $$三比 \left{ \begin{array}{ll}

      \lambda_{1,2} ≠ \alpha \pm \beta i \Rightarrow k = 0\

      \lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i \Rightarrow k=1 \end{array} \right. $$

  • $y^*代回原方程，用待定系数,求出Q_l(x)的系数，确定y^*$
  • $照搬1齐次方程通解 \Rightarrow y_齐通$
  • $y_通=y_齐通+y^*_{非齐特}$

四、应用题（强化班）

• 1.背景公平————信息给予

• 2.翻译成数学表达式

  • 根据题意设立P(t)随时间的变化率与其他变量的关系

  • 1.建立P(t)满足的微分方程

  • $2.通过y=p^2,求解出此方程$