第六讲 微分方程
概念,一阶方程求解,高阶方程求解
一、概念
阶数——方程中y的最高阶导数的阶数
$$\left{ \begin{array}{ll}
n=1, 一阶\
n \ge 2, 高阶 \end{array} \right. $$
3.通解——解中所含独立常数的个数=方程的阶数
二、一阶方程的求解
1.变量可分离型
两边积分
[注1]求解微分方程中,除了后面"一阶线性型"欲讲的特殊情形外,一律出现ln u,且u不知正负时,写ln|u|
[注2]
非线性方程中:通解≠全部解(通解+奇解=全部解)
线性方程中:通解=全部解
考研只考通解,数学专业考全部解
2.齐次型
$$ \frac {dy}{dx} = f( \frac yx) ,换元,令\frac yx = u \Rightarrow y=u \bullet x \ \Rightarrow y' = u' \bullet x + u \bullet 1 \Rightarrow u'x+u = f(u) \ \Rightarrow \frac {du}{dx} \bullet x = f(u) - u \Rightarrow 继续分离变量 \int \frac{du}{f(u)-u} = \int \frac
{dx}{x} $$
可接受隐式解
3.一阶线性型
[自注] 这个通解公式在线性代数里有个其他解释
4.可降阶 (强化班)
*[注]尚有两种类型的方程貌似二阶,实可降阶
三、二阶方程求解 (高阶方程2-4阶 强化班)
$$2. \left{ \begin{array}{ll}
\Delta > 0 \Rightarrow \lambda_1 ≠ \lambda_2 \Rightarrow y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}\
\Delta = 0 \Rightarrow \lambda1 = \lambda_2 =\lambda \Rightarrow y = (C_1+C_2x)e^{\lambda x} \ \Delta < 0 \Rightarrow \lambda{1,2} =-\frac p2 \pm \frac {\sqrt{4q-p^2}}2i = \alpha \pm \beta i \Rightarrow y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x) \end{array} \right. $$
2.二阶非齐次方程
$$三比 \left{ \begin{array}{ll}
\alpha ≠ \lambda_1, \alpha ≠ \lambda_2 \Rightarrow k = 0\
\alpha = \lambda_1或 \alpha = \lambda_2 \Rightarrow k=1 \ \alpha = \lambda_1 = \lambda_2 \Rightarrow k = 2 \end{array} \right. $$
$$三比 \left{ \begin{array}{ll}
\lambda_{1,2} ≠ \alpha \pm \beta i \Rightarrow k = 0\
\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i \Rightarrow k=1 \end{array} \right. $$
四、应用题(强化班)
1.背景公平————信息给予
2.翻译成数学表达式
根据题意设立P(t)随时间的变化率与其他变量的关系
1.建立P(t)满足的微分方程
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