第三讲 一元函数积分学

• 定义，计算，应用

一、定义

1.不定积分

• 1.定义

  • $\forall x \in I,使F'(x)=f(x),则\\称F(x)是f(x)在I上的一个原函数。\\全体原函数就叫不定积分，记成\\ \int f(x)dx = F(x) + C$

• 2.原函数存在定理（强化班）

  • 1.连续函数必有原函数

    • $设f(x)在I上连续,\\证明F(x)= \int_a^x f(t)dt,(a,t \in I)必可导,\\且F'(x)=f(x), \forall x \in I$

      • 证明使用积分中值定理

      • $\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a)$ 积分形式转化为函数形式

  • $2.含跳跃,可去,无穷间断点的f(x)在此区间无原函数$

    • $跳跃处f(x_0 -0 ) ≠ f(x_0 + 0) \\ \Rightarrow F'(x_0) ≠ f(x_0) 所以不\exists F'(x)$

  • $3.含振荡间断点的f(x)在此区间可能有也可能没有原函数$

2.定积分

• 1.必要条件

  • $\int_a^bf(x)dx 存在 \Leftrightarrow f(x) 在[a,b]上可积$

  • $\int_a^bf(x)dx 存在 \Rightarrow [a,b]有限区间$

  • $\int_a^bf(x)dx 存在 \Rightarrow f(x)在[a,b]上有界$

  • $f(x) 在[a,b]上可积 \Rightarrow f(x)在[a,b]上有界$

• 2.充分条件

  • $f(x)在[a,b]上连续 \Rightarrow \int_a^bf(x)dx 存在$

  • $f(x)在[a,b]上连续 \Rightarrow f(x) 在[a,b]上可积$

  • $f(x)在[a,b]上只有有限个间断点且有界 \int_a^bf(x)dx 存在$

• [小结]

  • $\int f(x)dx ,函数族$

  • $\int_a^b f(x)dx ,面积值(数）$

• $N-L公式 \int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) -F(a)$

强化班总结

• [注1]

  • $f(x)连续 \Rightarrow F(x)=\int_a^xf(t)dt可导$
  • $f(x)可积 \Rightarrow F(x)=\int_a^xf(t)dt连续$
• [注2]

  • $\int_a^xf(t)dt \leftarrow f(x) \rightarrow f'(x)$
  • 1.奇偶性

    • $\int_a^xf(t)dt 偶\leftarrow f(x) 奇 \rightarrow f'(x) 偶$
    • $\int_a^xf(t)dt(a=0,偶,a≠0,不确定)\leftarrow f(x)偶 \rightarrow f'(x)奇$
  • 2.周期性

    • $1.可导f(x)以T为周期 \Rightarrow f'(x) 以T为周期$
    • $2.可积f(x)以T为周期，则\\\int_a^xf(t)dt以T为周期的充要条件是 \int_a^Tf(x)dx = 0$
    • [预备Th]

      • $若f(x)以T为周期，可积，\\则\int_a^Tf(x)dx = \int_a^{a+T}f(x)dx, \forall a$
  • 3.有界性

    • $[Th] 设f(x)在[a,b]有限区间内可导,\\且f'(x)有界,\forall x \in (a,b), 则 f(x) 有界, \forall x \in (a,b)$
  • 4.单调性(无明确结论)

• [注3] 关于定积分的精确定义,黎曼积分,常义积分

  • $$1.两个任意\left{ \begin{array}{ll}

    [a,b]任意切分 \

    任意取高 \end{array} \right. 之后,\ \int_a^bf(x)dx存在（唯一），称f(x)可积。$$

  • 2.考研中

    • $1.n等分[a,b] \frac {b-a}n \to 0, n \to \infty$
    • $2.取右端点高 f(a+\frac {b-a}n i)$
    • $则 \lim_{n \to \infty} \Sigma_{i=1}^nf(a+\frac {b-a}n i)\frac {b-a}n = \int_a^bf(x)dx$
  • 3.$令a=0,b=1,则\lim_{n \to \infty} \Sigma_{i=1}^nf(\frac in)\frac 1n = \int_0^1f(x)dx$
  • 三部曲

    • $1.先提出\frac 1n$
    • $2.再凑出 \frac in$
    • $3.\frac 1n读作\int_0^1上的dx，\frac in读作\int_0^1上的x$

3.变限积分 （强化班）

• $1.\\\int_a^x f(t)dt————变上限积分函数\\\int_x^b f(t)dt————变下限积分函数\\\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)dt————变限积分函数$
• 2.变限积分属于定积分范畴

  • $[a,b]有限,f(x)有界$
  • $如\\int_a^x f(t)dt,|x-a|有限变量，f(t)有界，x取不到\infty,x有限$
• 3.求导公式

  • $(int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)dt)'_x=\\ f(\varphi_2(x))\varphi'_2(x)f(\varphi_1(x))\varphi'_1(x) -$
  • [注]上述求导公司使用条件被积函数只含t不能含x

4.反常积分（强化班）

• 1.定义

  • $1.破坏[a,b]有限性 \Rightarrow \\ \int_a^{+\infty}f(x)dx, \int_{-\infty}^bf(x)dx, \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 称“无穷区间的反常积分”$
  • $2.破坏f(x)的有界性 \Rightarrow \\ \int_a^bf(x)dx,其中\lim_{x \to b^-}f(x)=\infty (称b为瑕点),称无界函数的反常积分,+\infty,-\infty,瑕点统称为奇(qi)点$
  • 2.判别条件"足够近，则收敛，不够近，则发散"

    • $$P-积分\left{ \begin{array}{ll}

      \int_1^{+\infty}\frac1{x^P}dx & \left{ \begin{array}{ll}

      P > 1 \Rightarrow 收敛 \

      P \le 1 \Rightarrow 发散 \end{array} \right.

      \

      \int_0^1\frac1{x^P}dx & \left{ \begin{array}{ll}

      P < 1 \Rightarrow 收敛 \

      P \ge 1 \Rightarrow 发散 \end{array} \right.

      \end{array} \right.$$

二、计算（四大方法）

• 1.凑微分法

  • 1.基本积分公式(熟稔于心)

    • $\int x^kdx=\frac1{k+1}x^{k+1}+C,k≠-1$

      • $\int \frac1{x^2}dx=-\frac1x+C$
      • $\int \frac1{\sqrt x}dx=2\sqrt x+C$
    • $\int \frac1xdx=\ln |x|+C$
    • $\int a^xdx = \frac { a^x}{\ln a} + C$

      • $\int e^xdx = e^x + C$
    • $\int \sin xdx= -\cos x + C$
    • $\int \cos xdx= \sin x + C$
    • $\int \tan xdx= -\ln|\cos x| + C$
    • $\int \cot xdx= \ln |\sin x| + C$
    • $\int \sec xdx= \ln |\sec x +\tan x| + C$
    • $\int \csc xdx= \ln |\csc x -\cot x| + C$
    • $\int \sec^2 xdx= \tan x + C$
    • $\int \csc^2 xdx= -\cot x + C$
    • $\int \sec x\tan xdx= \sec x + C$
    • $\int \csc x\cot xdx= -\csc x + C$
    • $\int \frac1{\sqrt{1- x^2}}dx= \arcsin x + C$

      • $\int \frac1{\sqrt{a^2- x^2}}dx= \int \frac1{\sqrt{1- (\frac xa)^2}}d(\frac xa) = \arcsin {\frac xa} + C$
      • $\int \frac1{\sqrt{a^2 + x^2}}dx = \ln(x+ \sqrt{a^2 + x^2}) + C$
      • $\int \frac1{\sqrt{x^2 -a^2}}dx = \ln(x+ \sqrt{x^2-a^2}) + C$
    • $\int \frac1{1+ x^2}dx= \arctan x + C$

      • $\int \frac1{a^2+ x^2}dx=\frac 1a \int \frac1{1+ (\frac xa)^2}d(\frac xa) = \frac1a\arctan {\frac xa} + C$
      • $\int \frac1{a^2 - x^2}dx=\frac 1{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}| + C$
      • $\int \frac1{ x^2 - a^2}dx=\frac 1{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C$
    • $\int \sqrt{a^2- x^2}dx= \frac{a^2}2 \arcsin {\frac xa} +\frac x2\sqrt{a^2-x^2} + C$
    • $凑微分 \frac 1{\sqrt{u}}du=d(2\sqrt u)$
    • $[Th]对于 \int f(x)dx, f(x)越复杂 \Rightarrow 越高兴$
    • $1. 先对复杂部分求导 2.再凑微分$
    • $求导后，倒着看， \frac {d f(x)}{dx} = F(x) \Rightarrow d f(x) = F(x)dx$
• 2.换元法

  • 当凑微分不成功时，考虑换元 将复杂换成简单

  • 1.三角换元

    • $当f(x)中含有\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2},\sqrt{x^2-a^2}可做如下换元$
    • $\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow 令x=a \sin t, t \in (-\frac {\pi}2, \frac {\pi}2)$
    • $\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow 令x=a \tan t, t \in (-\frac {\pi}2, \frac {\pi}2)$
    • $$\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow 令x=a \sec t, \left{ \begin{array}{ll}

      (1)x > 0, t \in (0, \frac {\pi}2) \

      (2) x < 0, t \in ( \frac {\pi}2, \pi) \end{array} \right. $$

    • 函数回代要保证单调性，单调函数才有反函数

    • $[注]若见到 \sqrt{ax^2+bx+c} \Rightarrow 化为\sqrt{\varphi^2(x)-k^2},\sqrt{k^2-\varphi^2(x)},\sqrt{\varphi^2(x)+k^2}再作三角换元$
  • 2.倒代换

    • $x = \frac1t ,可用于分子次数明显低于分母次数$
  • 3.复杂部分代换

    • 令复杂部分=t

    • 比如带根号的复杂部分

• 3.分部积分法

  • $\int udv = uv - \int vdu$
  • $\int udv 难 \Rightarrow \int vdu易$
  • "反（反三角函数）、对、幂、指或三"排在前面的求导，排在后面的积分

  • $\int xe^xdx = \int xde^x = xe^x - \int e^xdx = xe^x - e^x + C$
• 4.有理函数的积分

  • $1.定义 形如 \int \frac {P_n(x)}{Q_m(x)}dx (n<m)的积分$
  • $2.方法$

    • $1.将Q_m(x)因式分解$
    • $2.将\frac {P_n(x)}{Q_m(x)} 拆成若干最简有理分式之和$
  • $3.拆分原则$

    • $1.Q_m(x)分解出(ax+b)^k \Rightarrow 产生k项\\ \frac{A_1}{ax+b} +\frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots + \frac{A_k}{(ax+b)^k} ,k=1,2,\dots$
    • $2.Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k\Rightarrow 产生k项\\ \frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} +\frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \dots + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k} ,k=1,2,\dots$

三、定积分的计算

• $\int_a^b f(x)dx = F(b) -F(a)$
• 1. 先按四大基本积分法求出F(x)

• 1. 代入上下限，只不过要求记住换元法时的细节:

     • $对于 \int_a^b f(x)dx = \int_{\varphi^-1(a)}^{\varphi^-1(b)} f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt, 令x=\varphi(t) \\ 且要求\varphi'(t)连续，并x=\varphi(t)不超出区间[a,b]$
• $I_n= \int_0^{\frac {\pi}2}\sin^nxdx,n为大于1的整数$

  • $可以得到递推式I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}$
  • $$ I_n = \left{ \begin{array}{ll}

    \frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac12\bullet\frac{\pi}2, & \textrm{$n为正偶数$} \

    \frac{n-1}{n}\bullet\frac{n-3}{n-2}\dots\frac23, & \textrm{$n为大于1的奇数$} \end{array} \right. 华里士公式，华氏公式$$

四、一元积分学应用(几何）——重在计算

1.用积分表达和计算平面图形的面积

• $1.y=y_1(x),y=y_2(x),x=a,x=b (a < b)所围平面图形$

  • $\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)| dx$

2.用积分表达和计算旋转体的体积

• $1.y=y(x)与x=a,x=b (a < b)及x轴所围\sigma绕x轴旋转一周所得旋转体$

  • $V_x=\int_a^b\pi\bullet y^2(x)dx$
• $2.上述\sigma 绕y轴旋转一周所得旋转体$

  • $V_y= \int_a^b 2\pi x\bullet | y(x)|dx$ ——柱壳(qiao)法
• $3.用积分表达和计算函数的平均值$

  • $y(x)在[a,b]上的平均值\bar y \triangleq \frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}$

五 逻辑证明 强化班

中值定理，不等式证明，方程根

2.方程根

• $1.存在性:零点定理 f(a)\bullet f(b) < 0 \Rightarrow f(\xi) = 0$
• $$2.唯一性 \left{ \begin{array}{ll}

  单调性 \left{ \begin{array}{ll}

  f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) 单调增 \

  f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) 单调减 \end{array} \right. \

  罗尔原话: 若f^{(n)}(x)=0至多k个根 \Rightarrow 则 f^{(n-1)}(x)=0至多k+1个根 \end{array} \right. $$

3.不等式 核心工具是求导，研究性态