第一讲 极限

一、极限定义

• 6*4+1种定义

1.函数极限

• $\lim_{x\to x_0} f(x) = A \Longleftrightarrow \\ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 0 < |x-x_0| < \delta时, |f(x) - A | < \varepsilon$

  2.数列极限

• $\lim_{n\to \infty} x_n = a \Longleftrightarrow \\ \forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, n > N 时, |x_n - a | < \varepsilon$

二、极限性质

1.唯一性

• 极限若存在，极限必唯一

• $若lim_{x->x_0}f(x)=A(\exists),则A唯一$

• 反证法证明

2.局部有界性

• $[Th]若lim_{x->x_0}f(x)=A(\exists), 则\\\exists \delta > 0, 0 < |x-x_0| < \delta时,\exists M > 0,使|f(x)| < M$

• 添加条件，不等式证明

• 讨论有界性的方法

• [自注]初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

• 初等函数在其定义区间内必连续

3.局部保号性（保序性）（脱帽法）

• $[Th]若lim_{x->x_0}f(x)=A > 0, 则\\ \exists \delta > 0, 0 < |x-x_0| < \delta时,f(x) > 0$ 反之亦然
• $[推论]若\exists \delta > 0, 0 < |x-x_0| < \delta时, \\ f(x) >( \ge) 0 且lim_{x->x_0}f(x)=A (\exists), 则 A \ge 0$ 反之亦然
• 对极限的理解

• $lim f(x) = 3$
• $2 < f(x) < 5 , (2,5) 并不是f(x) 的取值区间，这只是事实陈述$
• $lim我=你 => 即使给我整个世界，我也只在你的身边$
• $1-\cos x > 0 ,x≠0$

三、极限计算

1.函数极限计算

• 综述:

  • 1.化简先行(等价替换，恒等变形，抓大头(找带头大哥))

  • 2.判别类型(七种未定式)

  • 3.使用工具(洛必达，泰勒)

  • 4.注意事项

• $\lim f(x),x是连续变量$
• 七种未定式

  • $\frac 00 (\frac {无穷小}{无穷小}), \frac {\infty}{\infty}, {\infty}\bullet0$
  • ${\infty}-{\infty}$
  • ${\infty}^0, 0^0, 1^{\infty}$
  • [注]此处0不是真正的0，1不是真正的1

• 计算工具

  • 洛必达法则

    • 斗鱼主播 1012132 数学史

    • $\frac 00 (\frac {无穷小}{无穷小}), \frac {\infty}{\infty}$
    • $f(x),g(x)极限都为0或{\infty},则 \\ \lim \frac {f(x)}{g(x)} =\lim \frac {f'(x)}{g'(x)} (可以是\exists或{\infty}）$
    • 用了再说，先看导函数是否存在，导函数比值的极限是否存在

    • $[注1]\lim \frac {f'(x)}{g'(x)} \exists或为{\infty}才能用$
    • [注2] 常用等价无穷小

      • $x \to 0$

        • $\sin x \sim x, \arcsin x \sim x$
        • $\tan x \sim x, \arctan x \sim x$
        • $e^x-1 \sim x, \ln (1+x) \sim x$
        • $(1+x)^ \alpha - 1 \sim \alpha x$
        • $1- \cos x \sim \frac12x^2$
    • 宇哥考研 微博

    • [注]化简方式

      • 等价无穷小替换

      • 及时提出极限不为0的因数

      • 恒等变形（有理化，提公因式，++--**//)

      • [小结]设置分母有原则，简单因式才下放

        • 简单 $x^α, e^{βx}$
        • 复杂 $\ln x, \arcsin x, \arctan x$等
        • $\ln u \sim u-1 ,u \to 1$
      • 换元法

    • ${\infty}-{\infty}$

      • 有分母，通分

      • [注] 熟记各种三角公式

      • 没有分母，创造分母，再通分，令x=(1/t),倒代换

    • ${\infty}^0, 0^0, 1^{\infty}$

      • $u^v = e^{v \ln u}$
      • $\lim u^v = e^{\lim v(u-1)} , 1^\infty$
    • 泰勒公式

      • $观点:任何可导函数f(x) = \sum a_nx^n统一美$
      • 熟稔于心: $x \to 0$
      • $\sin x = x - \frac16x^3+o(x^3)$
      • $[Th] 无穷小A = 无穷小B + 高阶无穷小\alpha \\ \Rightarrow A \sim B$
      • $x - \sin x \sim \frac16x^3$
      • $\arcsin x = x + \frac16x^3+o(x^3)$
      • $\sin x = x - \frac16x^3+o(x^3)$
      • $x - \arcsin x \sim -\frac16x^3$
      • $\tan x = x + \frac13x^3+o(x^3)$
      • $\arctan x = x - \frac13x^3+o(x^3)$
      • $\cos x = 1 - \frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
      • $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}{4} + o(x^4) \\通项公式 (-1)^{n-1} \frac{x^n}n$
      • $e^x = 1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \\通项公式 \frac{x^n}{n!}$
      • $\frac1{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots ,|x| < 1 \\通项公式 x^n$
    • 展开原则

      • 见到 $\frac AB$型，用上下同阶原则，即若分母（分子）是$x^k$，则分子（分母）展开至$x^k$
      • 见到 $A-B$型，用幂次最低展开原则，即，将A，B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止

2.数列极限计算 $\{ x_n \}$ 三方面

• (1) 若 $x_n$ 易于连续化，转化为函数极限计算，归结原则

  • $依据:若 \lim_{x \to +\infty}f(x)=A,则\lim_{n \to +\infty}f(n)=A$
  • 连续的极限是A，则离散的极限也是A

• (2) 若 $x_n$ 不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义（见后））

  • [Th]:

    • $1. y_n \le x_n \le z_n$
    • $2. y_n \to A, z_n \to A , n \to \infty$
    • $3. x_n \to A$
  • 放缩法

  • 只动分母，不动分子

  • [注] 夹逼准则不验证“等号”，即 $< , \le$均可
  • n充分大时，利用函数“天生的有界性”

• （3） 若 $\{ x_n \}$ 由递推式 $x_n = f(x_{n-1})$给出，用“单调有界准则”

  • [Th] 给出$\{ x_n \}$，若$\{ x_n \}$ 单调增且有上界或 $\{ x_n \}$ 单调减且有下界， 则 $\lim_{n \to \infty} x_n 存在 ，\{ x_n \} 收敛$
  • 高阶，低阶互推，数学归纳法或者递推法

  • 先探索前几项，找规律

  • 第一数学归纳法

    • 1.验n=1时成立

    • 2.设n=k时成立

    • 3.证n=k+1时成立

四、极限的应用 -- 连续与间断

1. 基本常识

• 任何初等函数在其定义区间内连续，故考研中只研究两类特殊的点

  • 分段函数的分段点（可能间断）

  • 无定义点（必然间断）

2.连续的定义

• $lim_{x \to x_0} f(x) \Rightarrow x ≠ x_0 处$
• $f(x_0) \Rightarrow x = x_0 处$
• $lim_{x \to x_0} f(x) 和 f(x_0) 本身并没有关系$
• $若lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0), 则称f(x)在x=x_0处连续$
• [注] $lim_{x \to x^+_0} f(x) = lim_{x \to x^-_0} f(x) = f(x_0)$三者相等，才连续

3.间断的定义

• $lim_{x \to x^+_0}f(x) \Rightarrow （1）$
• $lim_{x \to x^-_0} f(x) \Rightarrow （2）$
• $f(x_0) \Rightarrow （3）$
• $设 f(x)在x=x_0点的某去心邻域有定义$ 前提

  • 1. (1),(2)均存在，且

       • $（1）≠（2） \Rightarrow x_0 为跳跃间断点$
       • $（1）=（2）≠ (3) \Rightarrow x_0 为可去（可补）间断点$
       • 统称第一类间断点

  • 1. (1),(2）至少一个不存在（考研中，只考了(1),(2）均不存在）

       • $若不存在= \infty \Rightarrow x_0 为无穷间断点$
       • $若不存在= 振荡 \Rightarrow x_0 为振荡间断点$
  • [注]

    • 1.单侧定义不讨论间断性

    • 2.若出现一侧是振荡，一侧无穷，则分侧讨论，左侧振荡间断，右侧无穷间断

    • 菲赫金格尔茨 微积分教程，三卷