第四讲 多元函数微分学

• 概念，计算，应用(极、最值)

一、概念

1.极限的存在性

• 1.第一种定义法(数学专业,同济六、七版)

  • $设f(x,y)的定义域为D，P_0(x_0,y_0)是D的聚点，\\ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 当P(x,y) \in D \cap \mathring{U}(P_0,\delta)时，\\恒有|f(x,y)-A| < \varepsilon \Rightarrow \\ \lim_{x \to x_0, y \to y_0}f(x,y)=A$

    $聚点的概念:理解为内点+边界点，但边界点不一定是D的$

• 2.第二种定义法(非数学专业高等数学教材)

  • $若二元函数f(x,y)在(x_0,y_0)的去心邻域内有定义，\\且(x,y)以任意方式趋向于(x_0,y_0)时,f(x,y)均 \to A 则\\ \lim_{x \to x_0, y \to y_0}f(x,y)=A$

• $\lim_{x \to x_0, y \to y_0} \Leftrightarrow \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)}$ 同时趋向

• [注]除了洛必达法则、单调有界准则、穷举法以外，可照搬一元函数求极限的方法。如

  • 1.等价无穷小替换

  • 2.无穷小 * 有界变量=无穷小

    • $\lim_{x->0^+}x\ln x = 0$

  • 3.夹逼准则 等

2.连续性

• $若\lim_{x \to x_0, y \to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),称f(x,y)在(x_0,y_0)连续$

  • $[注]若"≠",叫不连续，多元时不讨论间断类型$

3.偏导数（必考）的存在性————偏的意思是片面，偷懒

• $z=f(x,y)$
• $f'_x(x,y) = z'_x(x,y)= \frac {\partial f(x,y)}{\partial x} = \frac {\partial z(x,y)}{\partial x}$ 偏导的写法
• $\frac {\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}= f_x'(x_0,y_0) \triangleq \lim_{\Delta x \to 0 } \frac {f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$
• $\frac {\partial f}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}=f_y'(x_0,y_0) \triangleq \lim_{\Delta y \to 0 } \frac {f(x_0 ,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$
• $\partial 偏微分符号，拉格朗日发明，法文，读音类似round$

4.可微性 z=f(x,y) (强化班)

• $1. \Delta z = f(x_0+ \Delta x, y_0+ \Delta y) - f(x_0,y_0) 全增量$
• $$2. A\Delta x+B\Delta y \left{ \begin{array}{ll}

  A = f_x'(x_0,y_0) \

  B = f_y'(x_0,y_0) \end{array} \right. 线性增量$$

• $3. \lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0}\frac{\Delta z - (A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} = 0 \Rightarrow f(x,y)在c可微$

  • $\Delta z - (A\Delta x+B\Delta y) = o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )$
  • $\Delta z = (A\Delta x+B\Delta y) + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} )$ 全增量，线性主部，误差（error）
• $微分学中 \Delta x =dx, \Delta y =dy \\得 dz|_{(x_0,y_0)}=f_x'(x_0,y_0)dx+f_y'(x_0,y_0)dy, dz为全微分$
• $dz=f_x'(x,y)dx+f_y'(x,y)dy = \frac {\partial f}{\partial x}dx+\frac {\partial f}{\partial y}dy$

5.偏导数的连续性z=f(x,y) (强化班)

• $1.用定义求f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)$
• $2.用公式求f_x'(x,y),f_y'(x,y)$
• $3.验证\lim_{x \to x_0, y \to y_0}f'_x(x,y) 是否=f'_x(x_0,y_0) \\且\lim_{x \to x_0, y \to y_0}f'_y(x,y) 是否=f'_y(x_0,y_0) ,\\若均等，则称f(x,y)在(x_0,y_0)处偏导数连续$

逻辑关系 z=f(x,y) (x_0,y_0)

• $偏导连续5 \Rightarrow 可微4 \Rightarrow 可偏导3$
• $可微4 \Rightarrow 连续2 \Rightarrow 极限存在1$

二、计算(必考)————多元函数微分法

1.链式求导规则

• $设 z=f(u,v,w),u=u(y),v=v(x,y),w=w(x),\\称x,y叫自变量,u,v,w叫中间变量,z叫因变量$
• $复合变量结构图$

  
• 有几条路就有几项相加，每条路上有几段就有几个相乘

• $\frac {\partial z}{\partial x} = \frac {\partial z}{\partial v} \bullet \frac {\partial v}{\partial x} + \frac {\partial z}{\partial w} \bullet \frac {dv}{dx}$

  • $w 到 x 只有一条，所以用\frac {dv}{dx} 不用 \frac {\partial v}{\partial x}$
• 注意书写规范

2.高阶偏导数

• $设 z=f(u,v,w),u=u(y),v=v(x,y),w=w(x),\\称x,y叫自变量,u,v,w叫中间变量,z叫因变量$
• 四种二阶偏导数

  • $\frac {\partial(\frac {\partial z}{\partial x})}{\partial x} = \frac {\partial^2 z}{\partial x^2}$
  • $\frac {\partial(\frac {\partial z}{\partial x})}{\partial y} = \frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y }$
  • $\frac {\partial(\frac {\partial z}{\partial y})}{\partial x} = \frac {\partial^2 z}{\partial y \partial x}$
  • $\frac {\partial(\frac {\partial z}{\partial y})}{\partial y} = \frac {\partial^2 z}{\partial y^2}$
• 无论z对谁求导，也无论z已经求了几次导，新函数仍然与原来函数有完全相同的复合结构

• [自注]这段没有看明白，到知乎上查了下，解释如下

  • 1.偏导数是相对某个具体的坐标系才有意义的

  • 2.链式法则是对复合函数才适用

• [自注]这里我的理解是所谓中间变量其实是“坐标系的基”，结合线性代数就好理解了。

  • 而链式法则一开始就是在转换坐标系，机器人学里的链式法则也是在转换坐标系，所以链式法则只能用于复合函数

  • 所以那句“无论求了几次导……”就好理解了，不管怎么求导，也不会改变坐标系的基的，因为在过程中转换坐标系完成求导，但是最终结果还是在原坐标系

3.多元函数的极最值（必考）

• 概念理解

• $f(x,y) < f(x_0,y_0) 真正,f(x,y) \le f(x_0,y_0) 广义$
• $1.无条件极值 z=f(x,y)$

  • 1.必要条件

    • $$ 设z=f(x,y) 在(x_0,y_0)处 \left{ \begin{array}{ll}

      一阶偏导数存在, & \textrm{} \

      取极值, & \textrm{} \end{array} \right. \ \Rightarrow f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0$$

    • [注]适用于三元及以上(常考2~5元)

  • 2.充分条件

    • $$记f''{xx}(x_0,y_0)=A, f''{xy}(x0,y_0)=B, f''{yy}(x_0,y_0)=C \ \Rightarrow \Delta = B^2-AC \left{ \begin{array}{ll}

      \Delta < 0 \left{ \begin{array}{ll}

      A > 0 \Rightarrow 极小 \

      A < 0 \Rightarrow 极大 \end{array} \right. \

      \Delta > 0 \Rightarrow 不是极值 \ \Delta = 0 \Rightarrow 失效（用概念）\end{array} \right.$$

    • [注] 只适用于二元。原因是因为这个判别式是海塞矩阵，二阶行列式，多元需要高阶的海塞矩阵

• $2.条件极值$其实是最值

  • $$提法:求u=f(x,y,z)在约束条件\left{ \begin{array}{ll}

    \varphi(x,y,z) = 0 \

    \psi(x,y,z) = 0 \end{array} \right. 下的极值$$ 其实是最值

  • 拉式乘数法

    • 1.作辅助函数

      • $F(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda \varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$五个独立变量
    • 2.令五个偏导为0

      • $F'_x=0,F'_y=0,F'_z=0,F'_{\lambda}=0,F'_{\psi}=0$
    • 3.解方程组的P_i

      • $比较u(P_i),M = u_{max}(P_i),m=u_{min}(P_j)$