第五讲 二重积分

• 概念，计算

一、概念

• 1.比较

  • 和定积分比较，是一个曲顶柱体的体积

  • $\iint_{D}f(x,y) d \sigma , d\sigma > 0$

• 2.对称性(必考)

  • 1.普通对称性

    • $$设D关于y轴对称,\ \iint_Df(x,y)d\sigma = \left{ \begin{array}{ll}

      2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma , & \textrm{$f(x,y)=f(-x,y)$} \

      0, & \textrm{$f(x,y)=-f(-x,y)$} \end{array} \right. $$

  • 2.轮换对称性（在直角系下）

    • 积分值与用何字母表示无关

二、计算

1.直角坐标系

• $I = \iint_Df(x,y) d\sigma = \iint_Df(x,y)dxdy$

  • 1.x型区域(上下形),后积x

    • 后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线

    • $I=\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy$

  • 2.y型区域(左右型),后积y

    • 后积先定限，限内画条线，先交左曲线，后交右曲线

    • $I=\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$

• 一定要画对D

2.极坐标系

• $$\left{ \begin{array}{ll}

  x=r\cos \theta\

  y=r\sin \theta \end{array} \right. $$

• 后积先定限，限内画条线，先交内曲线，后交外曲线

• $I=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr$

• $d\sigma = r \bullet d\theta \bullet dr = d\theta \bullet r \bullet dr$